Kalkulator prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo mówi, jak często zdarzenie zachodzi, gdy powtarza się to samo doświadczenie. Przyjmuje wartości od 0 (zdarzenie niemożliwe) do 1, czyli 100% (zdarzenie pewne). Kalkulator prawdopodobieństwa liczy je w trzech typowych sytuacjach: dla pojedynczego zdarzenia, dla sumy oczek na kostkach i dla losowania bez zwracania, takiego jak rozdanie kart albo losowanie Lotto.

Wynik pojawia się w procentach, jako skrócony ułamek, w postaci „1 na X” i razem z szansą zdarzenia przeciwnego. Jeśli chcesz najpierw policzyć, ile jest możliwych wyników, skorzystaj z kalkulatora kombinacji i permutacji.

Zdarzenie

Podaj liczbę wyników sprzyjających i wszystkich, np. 4 asy na 52 karty. Pole „Liczba prób” zamienia wynik na szansę, że zdarzenie zajdzie co najmniej raz w serii niezależnych prób. Obok kalkulatora 100 kratek pokazuje, w ilu próbach na sto zdarzenie średnio zachodzi.

Kostki

Wybierz liczbę kostek, ich rodzaj (od k4 do k100) i warunek: suma równa, co najmniej albo co najwyżej podanej liczbie. Wykres obok pokazuje rozkład wszystkich możliwych sum z zaznaczonymi tymi, które spełniają warunek.

Losowanie

Podaj, ile jest elementów w puli, ile z nich szukasz, ile losujesz i ile trafień Cię interesuje. W Lotto pula to 49 liczb, szukanych jest 6 skreślonych przez Ciebie, losuje się 6, a trafień ma być 6. Przykłady pod formularzem wypełniają pola za Ciebie.

• Definicja klasyczna: gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, P(A) = m / n, gdzie m to wyniki sprzyjające, a n wszystkie.
• Zdarzenie przeciwne: P(nie A) = 1 − P(A). Szansa, że na kostce nie wypadnie szóstka, to 1 − 1/6 = 5/6.
• Suma zdarzeń: P(A lub B) = P(A) + P(B) − P(A i B). Dla zdarzeń, które nie mogą zajść razem, wystarczy dodać, np. 1 lub 6 na kostce to 1/6 + 1/6 = 1/3.
• Zdarzenia niezależne: P(A i B) = P(A) · P(B). Dwie szóstki w dwóch rzutach to 1/6 · 1/6 = 1/36.
• Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A | B) = P(A i B) / P(B), czyli szansa A, gdy wiadomo, że zaszło B.

Przy losowaniu bez zwracania kalkulator korzysta z rozkładu hipergeometrycznego. Szansa na dokładnie k trafień to C(K, k) · C(N − K, n − k) / C(N, n), gdzie N to pula, K liczba szukanych, a n liczba losowanych elementów.

Dwie kostki

Przy rzucie dwiema kostkami sumy wynoszą od 2 do 12, ale nie są jednakowo częste. Siódemkę daje 6 z 36 układów (1 + 6, 2 + 5, 3 + 4 i odwrotnie), więc jej szansa to 1/6, czyli 16,67%. Dwójkę i dwunastkę daje tylko jeden układ, po 1/36, czyli 2,78%.

Karty

W talii 52 kart szansa na wyciągnięcie asa to 4/52, czyli 7,69%, a na kiera 13/52, czyli 25%. Gdy dobierasz 5 kart, szansa na co najmniej jednego asa rośnie do około 34,1%.

Lotto

W Lotto losuje się 6 liczb z 49. Wszystkich możliwych zakładów jest 13 983 816. Tak rozkładają się szanse jednego zakładu:

Zakład kawalera de Méré

W XVII wieku francuski hazardzista zauważył, że zakład o co najmniej jedną szóstkę w czterech rzutach kostką opłaca się, choć szansa na szóstkę w jednym rzucie to tylko 1/6. Rachunek daje 1 − (5/6)⁴ ≈ 51,8%. Pytania de Méré były jednym z powodów korespondencji Blaise’a Pascala z Pierre’em de Fermatem z 1654 roku, od której zwykle zaczyna się historię rachunku prawdopodobieństwa.

Paradoks urodzin

W grupie 23 osób szansa, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, przekracza 50%. Przy 50 osobach wynosi około 97%. Zaskakuje to, bo myślimy o swoich urodzinach, a liczą się wszystkie pary w grupie, których przy 23 osobach jest 253.

Problem Monty’ego Halla

Za jednymi z trzech drzwi jest nagroda. Wybierasz drzwi, a prowadzący, który wie, gdzie jest nagroda, otwiera jedne z pozostałych, puste. Zmiana wyboru podnosi szansę na wygraną z 1/3 do 2/3. Gdy w 1990 roku Marilyn vos Savant opisała to rozwiązanie w swojej rubryce, wielu czytelników, także z wykształceniem matematycznym, uznało je za błędne.

Im więcej powtórzeń, tym bliżej oczekiwanej wartości jest częstość wyniku. W 10 rzutach monetą łatwo o 7 orłów, ale w 10 000 rzutów odsetek orłów będzie bardzo bliski 50%. To prawo wielkich liczb.

Nie oznacza ono jednak, że los „wyrównuje” krótkie serie. Każdy rzut jest niezależny, więc po serii orłów szansa na reszkę się nie zwiększa. Jeśli chcesz zobaczyć to na własne oczy, rzuć kilkadziesiąt razy w symulatorze rzutu monetą albo kostką.