Kalkulator kombinacji i permutacji

Kombinatoryka odpowiada na pytanie „na ile sposobów?”. Na ile sposobów można skreślić zakład w Lotto, ustawić zawodników na podium albo ułożyć litery słowa. Kalkulator kombinacji i permutacji liczy to za Ciebie: wybierasz rodzaj obliczenia, podajesz n i k, a wynik pojawia się od razu, razem ze wzorem i rachunkiem.

Kalkulator liczy dokładnie, bez zaokrągleń, nawet gdy wynik ma setki cyfr. Jeśli chcesz zamienić liczbę sposobów na szansę, skorzystaj z kalkulatora prawdopodobieństwa.

Wystarczą dwa pytania. Pierwsze: czy kolejność ma znaczenie? Miejsca na podium mają kolejność, skład komisji nie ma. Drugie: czy ten sam element może wystąpić kilka razy? Cyfry w kodzie PIN mogą się powtarzać, liczby w zakładzie Lotto nie.

• kolejność ważna, bez powtórzeń: wariacje bez powtórzeń;
• kolejność ważna, z powtórzeniami: wariacje z powtórzeniami;
• kolejność nieważna, bez powtórzeń: kombinacje;
• kolejność nieważna, z powtórzeniami: kombinacje z powtórzeniami.

Gdy ustawiasz w kolejności wszystkie elementy, a nie tylko część, liczysz permutacje. Jeśli przy tym część elementów jest identyczna, jak trzy litery A w słowie ANANAS, to permutacje z powtórzeniami.

W polskiej szkole ustawienie k elementów z n w kolejności nazywa się wariacją, a słowo „permutacja” oznacza ustawienie wszystkich elementów. W tekstach anglojęzycznych to samo obliczenie, n! / (n − k)!, nazywa się zwykle „permutations”, a n do potęgi k „permutations with repetition”. Stąd biorą się rozbieżności w kalkulatorach i poradnikach.

Ten kalkulator używa nazw polskich. Jeśli w zadaniu po angielsku widzisz P(n, k), wybierz wariacje bez powtórzeń.

Wzory są ze sobą powiązane. Wariacji jest k! razy więcej niż kombinacji, bo każdy wybrany zestaw k elementów da się ustawić na k! sposobów: V(n, k) = C(n, k) · k!. Kombinacje mają też symetrię C(n, k) = C(n, n − k), więc wybór 3 osób z 10 daje tyle samo możliwości co wybór 7, które zostaną: 120.

Medale w turnieju szachowym

W turnieju gra 8 szachistów. Na ile sposobów można rozdać złoty, srebrny i brązowy medal? Medale się różnią, więc kolejność jest ważna, a nikt nie dostanie dwóch. To wariacje bez powtórzeń: V(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.

Komisja egzaminacyjna

Z 20 nauczycieli trzeba wybrać 4-osobową komisję. Liczy się tylko skład, więc to kombinacje: C(20, 4) = 4845.

Pączki w cukierni

Cukiernia ma 6 rodzajów pączków, a Ty kupujesz 4. Rodzaje mogą się powtarzać, a kolejność wkładania do torby nie ma znaczenia. To kombinacje z powtórzeniami: C(6 + 4 − 1, 4) = C(9, 4) = 126 zestawów.

Kolejność prezentacji

Siedmioro uczniów wygłasza prezentacje jedno po drugim. Kolejność ustala się dla wszystkich, więc to permutacje: 7! = 5040. Przy dziesięciorgu uczniów byłoby ich już 3 628 800.

Liczbę kombinacji C(n, k) zapisuje się też jako symbol Newtona i czyta „n po k”. Spełnia ona zależność C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k), na której opiera się trójkąt Pascala: każda liczba jest w nim sumą dwóch liczb stojących nad nią.

Te same liczby są współczynnikami w rozwinięciu dwumianu Newtona. Na przykład (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, a współczynniki 1, 3, 3, 1 to C(3, 0), C(3, 1), C(3, 2) i C(3, 3).

• Gry liczbowe: liczba możliwych zakładów to mianownik prawdopodobieństwa wygranej, np. 13 983 816 w Lotto.
• Hasła i kody: wariacje z powtórzeniami mówią, ile prób trzeba wykonać, żeby sprawdzić wszystkie kombinacje. Czterocyfrowy PIN ma 10 000 możliwości, a klucz 128-bitowy 2¹²⁸, czyli około 3,4 · 10³⁸.
• Testowanie oprogramowania: formularz z 5 polami po 3 wartości ma 3⁵ = 243 kombinacje danych wejściowych.
• Planowanie: liczba możliwych tras przez n miast rośnie jak silnia. Dla 10 miast, z ustalonym punktem startu i bez rozróżniania kierunku, różnych tras zamkniętych jest 9! / 2 = 181 440.

Jeśli potrzebujesz losowego wyboru zamiast liczby możliwości, skorzystaj z symulatora losowania Lotto albo generatora haseł.