Prawdopodobieństwo w codziennym życiu

Czym jest prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, którą często podaje się w procentach. 0 oznacza zdarzenie niemożliwe, 1 zdarzenie pewne. Najprościej rozumieć je jako częstość: zdarzenie o prawdopodobieństwie 0,5 zachodzi mniej więcej w połowie z wielu podobnych prób.

Gdy wszystkie wyniki są równie prawdopodobne, liczy się je jako stosunek wyników sprzyjających do wszystkich możliwych. Kostka ma sześć ścianek, a szóstka jest jedna, więc szansa na nią wynosi 1/6. Szansa, że szóstka nie wypadnie, to 1 − 1/6, czyli 5/6. Takie wyniki możesz sprawdzić w praktyce, rzucając wirtualną kostką albo monetą kilkaset razy.

Prognoza pogody

Prognoza „70% szans na deszcz” nie mówi, że będzie padać przez 70% dnia ani na 70% obszaru. Mówi, że w 7 na 10 sytuacji z taką prognozą deszcz rzeczywiście pada. Pozostałe trzy razy parasol okaże się zbędny i nie znaczy to, że prognoza była błędna.

Skąd biorą się takie liczby? Ośrodki meteorologiczne uruchamiają model pogody wiele razy, za każdym razem z trochę innymi warunkami początkowymi, bo pomiary atmosfery nigdy nie są idealnie dokładne. Taki zestaw przebiegów nazywa się prognozą zespołową. Jeśli w 70 na 100 przebiegów nad danym miejscem pada, prognoza podaje 70%. Im dalej w przyszłość, tym bardziej przebiegi się rozjeżdżają, dlatego prognoza na tydzień jest mniej pewna niż na jutro.

Gry losowe i Lotto

W Lotto losuje się 6 liczb z 49. Liczba możliwych zestawów to 13 983 816 i tylko jeden z nich wygrywa. Szansa na szóstkę przy jednym zakładzie wynosi więc 1 do prawie 14 milionów. Dla porównania, według danych amerykańskiej służby meteorologicznej NWS roczne ryzyko porażenia piorunem w USA to mniej więcej 1 do miliona.

Szóstka w Lotto

1 : 13 983 816przy jednym zakładzie

Szóstka na kostce

1 : 6przy jednym rzucie

Orzeł

1 : 2przy jednym rzucie monetą

Każdy zestaw liczb ma dokładnie tę samą szansę. Daty urodzin, „szczęśliwe” liczby i zestawy, które dawno nie padły, wygrywają tak samo rzadko jak 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wybór liczb może mieć znaczenie tylko dla wysokości wygranej: popularne zestawy częściej trzeba dzielić z innymi zwycięzcami. Jak często trafia się trójkę czy czwórkę, sprawdzisz w symulatorze Lotto, a liczbę możliwych zestawów policzysz w kalkulatorze kombinacji.

Testy i leki

Skuteczność leku to nie odsetek wyleczonych

Gdy szczepionka albo lek ma „80% skuteczności”, oznacza to zwykle, że w grupie leczonej zachorowań było o 80% mniej niż w grupie porównawczej. To względne zmniejszenie ryzyka. Jeśli bez szczepienia choruje 10 osób na 1000, to po szczepieniu chorują 2 na 1000. Lek nie „pomógł 8 na 10 osobom”, bo większość z nich i tak by nie zachorowała. Ile osób faktycznie zyska, zależy od tego, jak częsta jest choroba.

Co mówi dodatni wynik testu

Każdy test diagnostyczny ma dwie ważne cechy. Czułość mówi, jaki odsetek chorych test wykrywa. Swoistość mówi, jaki odsetek zdrowych dostaje poprawny wynik ujemny. Test o czułości i swoistości 95% wydaje się bardzo dokładny. A jednak przy rzadkiej chorobie większość wyników dodatnich może być fałszywa, bo zdrowych badanych jest dużo więcej niż chorych.

Przy ustawieniach startowych na 10 000 osób chorych jest 100 i test wykrywa 95 z nich. Zdrowych jest 9900, a 5% z nich, czyli 495 osób, też dostaje wynik dodatni. Na 590 wyników dodatnich tylko 95 dotyczy chorych, czyli około 16%. Przesuń suwak „Choruje” w prawo, a ten odsetek szybko wzrośnie. Dlatego dodatni wynik badania przesiewowego zwykle potwierdza się drugim, innym testem.

To przykład prawdopodobieństwa warunkowego: szansa, że ktoś jest chory, pod warunkiem że ma dodatni wynik. Podobne obliczenia zrobisz w kalkulatorze prawdopodobieństwa.

Ubezpieczenia i pieniądze

Ubezpieczyciel nie wie, czy to akurat Ty będziesz mieć wypadek. Wie natomiast z danych o tysiącach klientów, jak często takie wypadki się zdarzają i ile średnio kosztują. Iloczyn prawdopodobieństwa i kosztu to wartość oczekiwana, czyli średnia wypłata na jedną polisę. Składka pokrywa tę średnią oraz koszty i zysk firmy. Młodzi kierowcy płacą zwykle wyższe OC, bo w danych częściej powodują szkody.

Ta sama logika tłumaczy, dlaczego loterie i kasyna zarabiają. Wartość oczekiwana wygranej z jednego losu jest mniejsza niż jego cena, więc przy milionach zakładów organizator zawsze wychodzi na plus, nawet jeśli pojedynczy gracz czasem wygrywa dużo.

Przy inwestowaniu prawdopodobieństwo pojawia się w dywersyfikacji. Rozłożenie pieniędzy na wiele różnych inwestycji nie podnosi oczekiwanego zysku, ale zmniejsza rozrzut wyników: mało prawdopodobne staje się, że wszystkie stracą naraz. Do szybkich obliczeń zmian i udziałów przyda się kalkulator procentów.

Hasła i bezpieczeństwo

Siła hasła to w gruncie rzeczy rachunek prawdopodobieństwa. Hasło z 8 małych liter ma 26⁸, czyli około 209 miliardów możliwości. Hasło z 12 znaków, w którym mogą być małe i wielkie litery oraz cyfry, ma 62¹², czyli około 3 · 10²¹ możliwości, ponad dziesięć miliardów razy więcej. Szansa, że atakujący trafi takie hasło w rozsądnym czasie, spada do pomijalnego poziomu, pod warunkiem że hasło jest naprawdę losowe. Takie hasła tworzy nasz generator haseł.

Prawdopodobieństwo działa też po drugiej stronie. Bank, który blokuje nietypową transakcję kartą, korzysta z modelu oceniającego, jak bardzo ta transakcja odbiega od Twoich zwykłych zakupów i od wzorców znanych oszustw.

Pułapki myślenia

Kilka błędów powtarza się tak często, że warto znać je z nazwy.

Błąd hazardzisty

Moneta, która dziesięć razy pokazała orła, nie „musi” teraz dać reszki. Niezależne losowania nie pamiętają poprzednich wyników.

Pomijanie częstości bazowej

Dokładny test przy rzadkiej chorobie daje wiele fałszywych alarmów, co pokazuje kalkulator powyżej.

Ryzyko względne bez bezwzględnego

„Ryzyko wzrosło o 50%” może oznaczać zmianę z 2 na 3 przypadki na 10 000. Zawsze pytaj, od jakiego poziomu.

Wnioski z małej próby

Trzy orły z rzędu to nic dziwnego. Przy małej liczbie prób przypadkowe serie zdarzają się bardzo często.

Rzadkie nie znaczy niemożliwe, a częste nie znaczy pewne. Prawdopodobieństwo opisuje, jak coś wypada w wielu powtórzeniach, i nie przesądza o pojedynczym przypadku. Dane o całej populacji nie zawsze pasują też do sytuacji jednej osoby.

Często zadawane pytania